01机器人空间描述与坐标变换

1. 简介​

在机器人学中，描述物体在空间中的位置和姿态（位姿）是所有后续分析的基础。本模块详细介绍了如何使用旋转矩阵和平移向量来描述刚体运动，以及如何通过齐次变换矩阵 (Homogeneous Transformation Matrix) 将两者结合。​

2. 核心理论​

2.1 旋转矩阵 (Rotation Matrix)​

二维或三维空间中的旋转可以通过正交矩阵描述。以绕轴旋转角为例，其旋转矩阵为：​

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2.2 齐次变换矩阵 (Homogeneous Transformation)​

为了将旋转 () 和平移 () 统一在通过线性运算中，引入了的齐次变换矩阵：​

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3. 架构流程 (Mermaid)​

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4. Python 代码验证​

下面的代码演示了如何使用 numpy 构建齐次变换矩阵，并将一个点从局部坐标系变换到全局坐标系。​

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代码块​

Python

import numpy as np​

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def get_rotation_z(theta_deg):​

"""生成绕Z轴的旋转矩阵"""​

theta = np.radians(theta_deg)​

c, s = np.cos(theta), np.sin(theta)​

return np.array([​

[c, -s, 0],​

[s, c, 0],​

[0, 0, 1]​

])​

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def get_homogeneous_matrix(R, P):​

"""组合旋转和平移生成4x4齐次变换矩阵"""​

T = np.eye(4)​

T[:3, :3] = R​

T[:3, 3] = P​

return T​

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# --- 场景模拟 ---​

# 机器人末端坐标系 {B} 相对于基坐标系 {A}:​

# 1. 绕 Z 轴旋转 90 度​

# 2. 沿 X 轴平移 2 米, 沿 Y 轴平移 1 米​

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# 1. 定义旋转和平移​

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